反應速率隨受質濃度變化的曲線

假設你把一定量的酵素放進試管，加入不同濃度的受質 Substrate，測量每一次的初始反應速率 Reaction Rate（V₀）（也就是 P 還很少、逆反應可忽略時的正反應速率）。把 V₀ 對 [S] 畫出來，你會看到一條雙曲線（hyperbolic curve）：

曲線有三段明顯的行為：

• [S] 很低時：V₀ 幾乎和 [S] 成正比 → 像一級反應（first-order）
• [S] 中間時：V₀ 隨 [S] 遞增但越來越緩
• [S] 很高時：V₀ 接近一個上限 Vmax，再加受質也沒用 → 像零級反應（zero-order）

為什麼會這樣？因為當 [S] 很高時，酵素的活性中心幾乎都被占滿了，此時速率就被「酵素數量」決定，而不是「受質多寡」。試想有 100 台洗衣（酵素），給 10 件衣服時速率快（一級）；給 1 萬件衣服時，速率由洗衣機數量決定（零級）。

Michaelis-Menten 方程式

背起來！萬變不離其宗。

Leonor Michaelis 和 Maud Menten 在 1913 年推導出這條曲線的數學式：

這條式子有兩個關鍵參數：

$K_M$ （Michaelis 常數）：

• 物理意義：讓反應速率達到 $V_{max}$ 一半時，所需的受質濃度
• 單位：濃度（M 或 mM）
• $K_M$ 小 → 酵素對受質親和力高（達到半飽和需要的濃度很低）
• $K_M$ 大 → 酵素對受質親和力低（達到半飽和要很濃才夠）

$V_{max}$ ​：

• 物理意義：酵素全部被受質占滿時的最大速率
• 單位：濃度 / 時間
• $V_{\max} = k_{\text{cat}} \times [E]_{\text{total}}$ ，和酵素總量成正比

穩態假說（steady-state approximation）

推導 MM 方程式時有個關鍵假設：ES 複合體的濃度不變。

這不是說 ES 的形成和分解停止了，而是說「形成 ES 的速率」等於「分解 ES（變回 E+S 或變成 E+P）的速率」。

steady state：$\frac{d[ES]}{dt} \approx 0$

​$k_{cat}$ 和 $k_{cat}/K_M$ ​：酵素性能的兩個指標

$k_{cat}$ （轉換數，turnover number）：

• 定義：單一酵素分子每秒鐘能處理幾個受質分子（當受質足量時）
• $V_{max} = k_{cat} \times [E]_{total}$
• 單位：1/s 或 s⁻¹
• 例：碳酸酐酶 kcat ≈ 10⁶ /s（每秒處理一百萬個 CO₂），是已知最快的酵素之一

$k_{cat}/K_M$ （催化效率，catalytic efficiency）：

• 單位：M⁻¹ s⁻¹
• 物理意義：在低受質濃度下，酵素「每遇到一個受質分子就把它處理掉」的效率
• 這是比較不同酵素（或同一酵素對不同受質）優劣的黃金指標
• 理論上限 ≈ 10⁸~10⁹ M⁻¹ s⁻¹（擴散極限，受限於分子彼此相遇的速度）

特殊 [S] 區域的速率方程

反正就是記熟 MM 方程，把不同條件帶入就好。

把 MM 方程式在不同 [S] 極端情況下化簡，會得到三個常考的結果：

1. $[S] \ll K_M$ （低受質）

此時反應速率對 $[S]$ 呈線性，一級反應；

速率常數就是 $k_{cat} / K_M$，這也解釋了為什麼 kcat/Km 是衡量催化效率的指標。

1. $[S] \gg K_M$ （高受質）

速率固定，與 [S] 無關，零級反應。

1. [S] = Km

這就是 Km 的定義：速率達 Vmax 一半時的受質濃度。

🐆 小心兩個易混淆點 Km 不是解離常數 Kd。
雖然 Km 常作為親和力指標，但它嚴格來說是「把 E+S ⇌ ES 的解離和 ES → E+P 的催化都綜合起來的複合常數」。
只有在 $k_{cat}$ 遠小於 $k_{-1}$ （ES 自發解離回 E+S 的速率）時，Km ≈ Ks（真正的解離常數），可作為親和力指標。 kcat 是「酵素全速工作時的轉換速率」，和 [S] 無關；而 V₀ 是當下測到的速率，會隨 [S] 變化。

例題：V₀ 的計算

假設某酵素 $K_M = 10μM、k_{cat} = 600/s$ 、酵素濃度 $[E] = 20 nM$ 、受質濃度 $[S] = 50 μM$ ，求 V₀：

注意單位換算：[E] = 20 nM = 0.02 μM。

若要算 V₀ = 0.8 Vmax 時的 [S]：